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電験三種~数学のレベルと試験でどう使われるか~

電験三種~数学のレベルと試験でどう使われるか~

電気の資格に詳しい人
電験三種で求められる数学の知識、
必要な数学の公式(分数、一次方程式、連立方程式、二次方程式、平方根、指数、三角関数、複素数、ベクトル、対数)、
実際の問題で求められる数学がどのように使われているのか、
どう数学の勉強をしたらいいのか

電験三種では数学が必ず求められます。

この記事では、電験三種で求められる数学の知識、必要な数学の公式(分数、一次方程式、連立方程式、二次方程式、平方根、指数、三角関数、複素数、ベクトル、対数)と実際の問題で求められる数学がどのように使われているのか、どう数学の勉強をしたらいいのかについて書いています。

電験三種で数学ができないと合格できません。特に理論や機械は計算問題が多いため苦手だからでは済まされません。
公式を丸暗記するよりもどう使うかを覚えるべき
分数、平方根などは計算過程で必要となる知識は過去問を解くことで対策できます。

電験三種で数学の必要な範囲

分数、一次方程式、連立方程式、二次方程式、平方根、指数、三角関数、複素数、ベクトル、対数です。

出題される数学は高校数学レベルで文系の人でも一通り学んだ内容です。

大学受験と異なり、これらの数学を難しく考える必要はなく、ただ公式や定理に当てはめて計算するだけです。

電験三種で求められる数学のレベルは高くなく、簡単に解くことができます。

 

数学ができないと合格できないのか?

数学がどうしても苦手で何とか数学を勉強しないでも電験三種合格できないのか考えてみましょう。

電験三種の計算問題は多く特に、理論では計算問題が半分以上を占めます。

すべての科目で計算問題が出題されるため数学は電験三種取得するためには避けて通れません。

計算問題出題数
理論12-15問/17問中
電力4-7問/17問中
機械7-12問/17問中
法規2-5問/13問中

電験三種の計算問題は決まった形式の問題も多く勉強したらしただけ得点できる分野なので積極的に勉強することがおススメです。

合格するには数学が出来なければなりません。

参考記事:理論(電験三種)

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法規(電験三種)

 

分数

分数は足し算、引き算とかけ算、割り算がメインになります。

 

分数の足し算、引き算

5分の1足す5分の2イコール5分の3

分母が共通の場合はそのまま足したり引いたりできます。

分母が違う分数の足し算

分母が違う場合は最小公倍数で同じ数字にします。

 

分数の掛け算

分数のかけ算

分母と分子をそのまま掛ける

 

分数の割り算

分数の割り算

分母と分子をひっくり返して掛け算で計算します。

 

繁分数

繁分数とは、分数の分母や分子に分数がある分数のこと。

計算は分母が1になるように計算します。

3/4/2/7=3/4×4/3/2/7×4/3=2/7×4/3=8/21

 

比の計算

a:bの比の値はa÷bで求められます。

a:b=c:d=ad=bc

 

分数をどこでどう使うか

出題された問題は消費電力の違いを求めるが、そのためにはR2とR3の並列回路の合成抵抗を求める必要があります。

分数を使った問題

令和2年度理論問6より引用

R2とR3合成抵抗の求め方は

合成抵抗の求め方

計算すると

R2、R3の並列回路の合成抵抗を求める計算式

となります。

 

分数は多くの場面で使われるので分数の計算はできなければいけません。

 

方程式

方程式は一次方程式、連立方程式、二次方程式と出題されます。

関連する項目で式の展開と因数分解も必要な知識です。

 

一次方程式

x-2=3

というような方程式が一次方程式です。

 

解き方

x-2=3の-2を右辺に移動させる

x=5

 

3x+3=2x+7

左辺にxを集めます。

3x-2x=7-3

x=4

 

連立方程式

連立方程式の例、x+y=0、x-y=2

というように式を2つ以上連なっているのが連立方程式。

解き方は代入法と加減法の2つがあります。

代入法

x+y=0…①、x-y=2…②

それぞれの式を①、②とします。

①を変形して

y=-x…③

③を②に代入すると

x-(-x)=2

2x=2

x=1

 

これを①に代入すると

1+y=0

y=-1

 

加減法

x+y=0…①、x-y=2…②

①と②の式を足してyを0にします。

x+y=0,+,x-y=2,2x=2

x=1

となり、①に代入すると

1+y=0

y=-1

 

二次方程式

ax2乗+bx+c=0

a,b,cは定数で、aは0でない数

のときに

x=-b±√b2乗-4ac/2a

で解くことができます。

 

式の展開

aかける(b+c)

実際の式の展開は

3(x+7)=3x+21

となります。

aをbとcのそれぞれに掛けます。

 

(a+b)2乗=a2乗+2ab+b2乗

(a-b)2乗=a2乗-2ab+b2乗

(a+b)(a-b)=a2乗-ab+ab-b2乗=a2乗-b2乗

(x+a)(x+b)=x2乗+bx+ax+ab=x2乗+x(a+b)+ab

(ax+b)(cx+d)=acx2乗+(ad+bc)x+bd

これらの公式を実際の式で使うと

(2x+5)2乗=4x2乗+20x+25

(x+5)(x-5)=x2乗+5x-5x-25

=x2乗-25

 

(x+3)(x-4)=x2乗+3x-4x-12

x2乗-x-12

 

(2x+5)(4x-7)

8x2乗-14x+20x-35

8x2乗+6x-35

となります。

 

因数分解

式の展開を反対に展開したものを最初の式に戻すこと。

ab+ac=a(b+c)

a2乗+2ab+b2乗=(a+b)2乗

a2乗-2ab+b2乗=(a-b)2乗

x2乗+x(a+b)+ab=(x+a)(x+b)

acx2乗+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)

上にある式の展開を反対にしたものでイメージはしやすいです。

 

方程式をどこでどう使うか

令和元年理論問6

令和元年理論問6より引用

キルヒホッフの第一法則より

I1=I2+Ir

キルヒホッフの第二法則より

閉回路①、②に次の式が成り立つ。

②の起電力は0

100=10I1+IRR…①、0=50I2-IRR

問題文より

I1=5

①に代入すると

100=10×5+IRR

IRR=50

②に代入すると

0=59I2-50

I2=1

 

方程式は計算過程で必要な知識となります。

 

平方根

平方根は2乗(同じ数を2回掛ける)するとaとなる数字をaの平方根で

√a

と表します。

ルートa2乗イコールa

ルート4イコール2となります。

ルートa2乗bイコールaルートb

が成り立ちます。

 

平方根のかけ算、割り算、足し算、引き算

平方根でのかけ算、割り算、足し算、引き算のやり方です。

かけ算はそのままです。

割り算は次で説明の有理化を使うことがあります。

足し算と引き算の考え方は同じです。

平方根のかけ算

平方根の割り算

m√a+n√a=(m+n)√a

m√a-n√a=(m-n)√a

 

有理化

分母が平方根の場合は、分母を整数にします(有理化)。

1/√a=1×√a/√a×√a=√a/a

 

平方根の割り算計算例

有理化を含め実際に平方根の割り算がどういう計算となるのか紹介します。

√24÷√10

√24=√8×3=2√2×√3=2√6となるため

2√6÷√10

2√6/√10

2×√6/√10

分母と分子を約分

2√6/√10を約分し2√3/√5

2×√3/√5

有理化すると、

2√3×√5/√5×√5

2√15/√5

 

平方根は色々な計算過程で使われます。

ピタゴラスの定理(三平方の定理)では平方根は使いますが、三角関数や複素数では必須の知識となります。

 

指数

指数の指数例、aのm乗

aがm個掛けたものです。

aのm乗かけるaのn乗イコールaのm乗たすn乗

aのm乗わるaのn乗イコールaのm乗ひくn乗

かっこabのm乗イコールaのm乗bのm乗

(am乗)n乗=am+n乗

a0乗=1

am/n乗=N√am乗

 

 

単位

指数は単位でよく使われます。

10の12乗

「テラ」と呼ばれ、記号はT

10の9乗

「ギガ」と呼ばれ、記号はG

10の6乗

「メガ」と呼ばれ、記号はM

10の3乗

「キロ」と呼ばれ、記号はk

10の-3乗

「ミリ」と呼ばれ、記号はm

10-6乗

「マイクロ」と呼ばれ、記号はμ

10の-9乗

「ナノ」と呼ばれ、記号はn

10の-12乗

「ピコ」と呼ばれ、記号はp

 

1MW=1×10の6乗W

 

指数をどこでどう使うか

令和2年電験三種理論問5

令和2年理論問5より

Aの場合、電線の抵抗を求める公式

R=p×l/a

Rは抵抗、pは抵抗率、lは長さ、Aは断面積

となっており、

問題から抵抗、断面積、長さは

P=8.90×10-8乗

A=9×10-5乗

l=1×103乗

となります。

抵抗Rは

R=8.9×10の-8乗×1×10の3乗/9×10の-5乗

指数はこういう場面で使われます。

 

対数

pイコールligaのm

loga1イコール0

logaaイコール1

logamnイコールlogamたすlogan

logan分のmイコールlogamひくlogan

logamのn乗イコールnlogam

logamイコールlogba分のlogbm

機械の自動制御などで必要な知識となります。

頻出ではありませんが覚えておくべき分野です。

 

三角比と三角関数

三角比と三角関数難しい印象がある人も多いと思います。

ここの内容をなんとなくでいいので理解して過去問を解きながら実際の解き方を覚えるのが良いでしょう。

 

円周率

円周率は小学校で学びましたが、3.14です。(時代によっては3の人もいますが)

円周率3.14をよく数学で

π

と表します。

 

角度

角度は度数法弧度法の2種類で表すことがあります。

度数法は円周を360等分した弧の大きさを表す方法で、30°などです。

弧度法は円の半径rと円の弧の長さlが等しいときの中心角θを1〔rad〕と表す方法です。

弧度法、θ=l/r

180°=π

となるため、弧度法だと

30°=1/6π

となります。

電気では弧度法で表現されることが多いです。

 

立体角

弧度法を三次元に拡張した考え方で立体角があります。

立体角は空間の広がりの度合いを表すものでsrです。

球の半径がrのとき、球の表面積Sがrの2乗と等しくなるときに立体角ωを1〔sr〕と表します。

ω=S/r2乗

立体角の円の図

球の表面積は

4πr2乗

なので、

球全体の立体角は

ω=4πr2乗/r2乗=4π

 

三角比

直角三角形において、直角と向かい合う最も長い辺を斜辺、直角でない1つの角度の大きさをθとすると、角度θと隣り合う斜辺でない辺を隣辺(底辺)、角度θと向かい合う辺を対辺といいます。

斜辺、隣辺、対辺の関係

斜辺、隣辺、対辺の関係からsinθ、cosθ、tanθは

sinθ=隣辺/斜辺=b/c

cosθ=対辺/斜辺=a/c

tanθ=隣辺/対辺=b/a

 

ピタゴラスの定理(三平方の定理)

ピタゴラスの定理(三平方の定理)

の直角三角形のときに

斜辺cは

c2乗=a2乗+b2乗

c=√a2乗+b2乗

が成り立ちます。

 

知っておいて得する直角三角形の辺の関係

30°、60°の直角三角形の比

30°、60°、90°の直角三角形の各辺の比

45°の直角三角形の比

45°の直角三角形の比

3:4:5の長さの直角三角形

3:4:5の直角三角形

例えば、sin30°、cos30°は

sin30°、cos30°

 

三角比の相互関係

tanθ=sinθ/cosθ

sin2乗θ+cos2乗θ=1

 

三角関数

x、y座標上に原点Oを中心とする半径1の円(単位円)を考え、円周上のθ回転した点P(x、y)をとると、

点Pのx座標はcosθ、y座標はsinθと表します。

x,y座標上のsinθ,cosθ

θ=60°のとき

sinθ=√3/2

cosθ=1/2

点P(x,y)=(√3/2,1/2)

 

sinθはy軸、cosθはx軸に数字となるため、

sinθはyが+のときに、+になります。

sinθの+-

cosθはxが+のときに、+になります。

cosθの+-

三角関数のグラフ

sin、cosのグラフ

sinθ、cosθの+、-の図から

sinθのグラフ

sinθのグラフ

θ90°180°270°360°
sinθ010-10

 

cosθのグラフ

cosθのグラフ

θ90°180°270°360°
cosθ10-101

 

sin、cosいずれのグラフも360°(2π)ごとに同じ波形で繰り返します。

 

三角関数と交流波形

交流波形は角周波数ω〔rad/s〕、時間t〔s〕を使って表されます。たとえば、電流の最大値(波高値)Imとすると、

電流の値は

電流i=Imsinωt

で表されます。図で表すと

交流波形

 

位相の進みと遅れ

交流波形では位相のズレを考えるので

i=Imsinωtを①とすると

①がφだけズレると

i=Imsin(ωt+Φ)

i=Imsin(ωt-Φ)

で表されます。

 

グラフにすると

i=Imsinωtが+Φ、-Φそれぞれズレた場合の図

①のi=Imsinωtのグラフが②は+Φだけズレ、③は-Φだけズレています。

 

①のt=0よりも②は+Φだけ位相が進んでいます。

③は①に比べ、-Φだけ位相が遅れています。

 

余弦定理

三角形の2つの辺a、bと、その2辺が挟む角θが与えられているとき、その角θと向かい合う辺の長さrには次の関係が成り立つ。(余弦定理)

余弦ているr2乗=a2乗+b2乗-2abcosθ

 

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

 

sin2α=2sinαcosα

cos2αcos2乗α-sin2乗α

cos2α=1-2sin2乗α=2cos2乗α-1

 

sin2乗α/2=1-cosα/2

cos2乗α/2=1+cosα/2

 

三角比と三角関数はどこでどう使われるのか?

ピタゴラスの定理(三平方の定理)はとにかくよく使います。

三角関数もP(有効電力)=VIcosθというような公式などでも使われます。

 

ベクトル

ベクトルとは、力や速度のように大きさと向きを持っている量のこと。

線分OAにおいて、始点をO、終点をAとすると

→OAAで表します。

ベクトルについて

Aは大きさと向きを表す。

電気ではAで表記します。

 

ベクトルAとベクトルBの大きさと向きが同じとき、

ABは等しくA=Bと表す。

ベクトルAとベクトルBが等しい

平行四辺形となります。

 

ベクトルの計算

ベクトルの実数倍

m>0のときmAの大きさはAのm倍で、向きはAと同じベクトルです。

m<0のとき、大きさがA絶対値m倍で、向きはAと反対向きのベクトルです。

なお、絶対値mはmの絶対値で+-関係なくm倍ということです。

ベクトルAの実数倍の向きと大きさ

 

ベクトルの足し算

足し算は平行四辺形あるいは三角形を作ることでベクトルを足し合わせることができます。

平行四辺形のほうがイメージしやすいです。

ベクトルA+ベクトルB

 

ベクトルの引き算

引き算はA-B=A+(-B)と考えます。

ベクトルA-ベクトルB

Bの逆ベクトル-Bを描いて、A-Bを足すことで、

A-B=A+(-B)という計算をする。

 

ベクトルの足し算は平行四辺形、引き算は逆ベクトルの平行四辺形を作る。

 

ベクトルの座標表示

直交座標表示

始点を原点Oとしたベクトルを①ベクトルといいます。

直交座標の位置ベクトルはx,yそれぞれの軸を用いてA=(a,b)と表せます。

これをベクトルの直交座標表示といいます。

A=(a,b)のベクトルの直交座標表示

ベクトルAの大きさはピタゴラスの定理よりA=√a2乗+b2乗となります。

直交座標の例

横に1、縦に√3いくケース。

 

極座標表示

大きさAおよび始線とその角ΦによってベクトルAの位置を表すものをベクトルの極座標表示といいます。

ベクトルAの極座標表示

極座標表示の例

π/3回転して、前に2いくケース

 

ベクトルはどこでどう使われるのか?

ベクトルも様々な場面で使われます。

令和2年理論問8

令和2年理論問8より

コンデンサと抵抗Rの合成インピーダンスZを求めるときに

インピーダンスZはオームの法則より

Z=E/I=10/0.1=100Ω

インピーダンスのベクトル図は

ベクトル図

Zはピタゴラスの定理より

Z=√x2乗+xc2乗

が成り立つ。

 

複素数

2乗すると-1になる数字を虚数単位といい、jで表します(数学ではiを使いましたが、電気では電流iと紛らわしいためjを使います。)

j2乗=-1

虚数単位jを使うときは√-a

√-a=√-1×√a=j√a

複素数はa+jbで表します。aが実部、bが虚部。

 

複素平面

x軸に実部、y軸に虚部を対応させて複素数を表したものを複素平面といいます。

複素数A=a+jbは始点を原点O、終点のx軸成分をa、y軸成分をbとするベクトルです。

ベクトル図

A=a+jbのベクトル図

複素平面

A=a+jbの複素平面

 

複素数の絶対値と共役複素数

複素数の大きさ

複素数の絶対値√a2乗+b2乗、共役複素数A=a-jb

A=a+jbの複素数の大きさはaの絶対値=√a2乗+b2乗

 

共役複素数

A=a+jbの虚数部の±符号を反対にしたA=a-jbAの共役複素数といいます。

上図の赤い線のベクトル

 

絶対値と共役複素数の関係

A=a+jbとその共役複素数A=a-jbを掛け合わせると

A×A=(a+jb)(a-jb)、j2乗=-1より=a2乗+b2乗=√a2乗+b2乗の2乗=Aの絶対値2乗

複素数の値の2乗の大きさになります。

 

絶対値A×B=絶対値A×絶対値B

絶対値a/b=絶対値a/絶対値b

 

複素数の計算

足し算

(a+bj)+(c+jd)=(a+c)+j(b+d)

引き算

(a+bj)-(c+jd)=(a-c)+j(b-d)

かけ算

(a+bj)×(c+jd)=ac+jad+jbc+j2乗bd=(ac-bd)+j(ad+bc)

割り算

(a+bj)/(c+jd)=(a+bj)×(c-jd)/(c+jd)×(c-jd)=ac+bd+j(bc-ad)/c2乗+d2乗

複素数の計算はこれまでの計算と同じで難しくありません。

 

複素数のいろいろな表し方

直交座標表示

直交座標表示のグラフ

複素数平面上にA=a+jb

で表します。

 

極座標表示

極座標表示のグラフ

複素数平面上に大きさA、角度θで

A=Aの角度は0より大きい

で表します。

 

三角関数表示

三角関数表示のグラフ

A=A(cosθ+jsinθ)

で表します。

 

指数関数表示

オイラーの公式

イプシロンjθ乗=cosθ+jsinθを使って

A=Aイプシロンjθ乗

と表します。

 

複素数をどこでどう使うのか

令和2年理論問9]

令和2年理論問9より

回路Aの合成インピーダンスを求める

回路Aのインピーダンスza

ZA=R+jωL-j1/ωC

問題文中よりω2乗lc=1

ωL=1/ωC

となり、これを先ほどの式に代入すると

ZA=R+j1/ωC-j1/ωC

za=R

回路Aの電圧をvすると電流i

I=V/Za=V/R…①

抵抗R、インダクタンスL、コンデンサCそれぞれの電圧は

VR=RI…②

VL=jωLI…③

VC=-ji/ωC…④

回路Aの各素子の電圧と電圧Vの位相関係を求めます。

実軸と虚軸をとった複素平面を考えると、複素数aにjを掛けるということは、反時計回りにπ/2rad回転させることを意味します(割り算は逆回転)。

π/2rad進む場合

-j掛けると時計回りにπ/2rad回転します。

π/2rad遅れる場合

①より電流iと電圧vは同相である。

②よりvrvと同相である。

③よりvlvよりπ/2rad進んでいて、④よりvcvよりπ/2rad遅れている。

よってvを基準に回路Aをベクトル図で示すと

回路Aのベクトル図

回路Bも同様のベクトル図を考えることで答えを導くことができます。

 

どう勉強するのが良いのか?

数学をどう対策して勉強すればいいのでしょうか?

電験三種で求められる数学のレベルは高くなく、きちんと勉強すれば問題ありません。

同じような問題が出題される傾向があり、過去問を何度も解いてどの公式をどういうケースで使うのが正しいのかなどを覚えることが大切です。

分数や平方根などはどう使われるかよりも計算過程で必ず必要となる知識で過去問を解くことで勉強できます。

公式を丸暗記するよりもどう使うかを覚えるべきです。

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